Steffensen法

反復法

反復法は、固定点の解ｘを求める方法であり、古典的な非線形方程式の解法として知られています。反復の式は、

であり、この式が収束する条件はです。

Steffensenの方法

一方、Steffensenの方法は、同じくの解ｘを求める方法ですが、収束を速めるためにAitkenのΔ²法をもとに導かれました。漸化式は、

となり、ｘ_nは、2次収束することが知られています。特にとしたとき、

となりますので、結局

と表されます。この式は、

と変形できることから、Steffensen法は、Newton法のを

で近似した方法であると考えられます。次に、平方根を求めるための漸化式を導きます。

最初の例

特に、のとき、

なので、

であり、a=2の場合、

となります。

別のg(x)の例

一方、より、

となるので、とおくと、であり、

となります。したがって、この場合の漸化式は、

となります。古典的な反復法とSteffensen法の違いを体感していただくために、十進BASICのプログラムを作成してみました。次に示します。

C:\BASICprograms\sqrt\Steffensen1.BAS

   1: ! 単純な反復法とSteffensen法を比較する。
   2: OPTION ARITHMETIC DECIMAL
   3: 
   4: INPUT PROMPT "平方根を計算したい数 a = ":a
   5: 
   6: ! 初期値 (x : 通常の反復法、y : Steffensenの方法)
   7: LET x = 1
   8: LET y = 1
   9: 
  10: PRINT " i    通常の反復法     Steffensenの方法"
  11: PRINT USING "###  ##.############  ##.############":i,x,y
  12: 
  13: ! iをカウンタとする
  14: LET i = 0
  15: DO
  16:    LET x = (x + a) / (x + 1)
  17:    LET y = y - (y^2 - a) * (2 * y + a + 1) / 2 / (y + a) / (y + 1)
  18:    LET i = i + 1
  19:    PRINT USING "###  ##.############  ##.############":i,x,y
  20: LOOP WHILE ABS(x - y) > 0.000000000001
  21: 
  22: END

別のg(x)の例

一方、より、

となるので、とおくと、であり、

となります。したがって、この場合の漸化式は、

となります。

別のg(x)の例

一方、より、

となるので、とおくと、この場合の漸化式は、

となります。