平方根の場合
これまでの連分数と漸化式の議論で、
![](../images2/sqrtMatrix001.png)
ならびに
![](../images2/sqrtMatrix002.png)
と表されることが分かりました。ここでは、参考文献[5,p291]に従って、連分数 に対する
![](../images2/sqrtMatrix004.png)
と漸化式
![](../images2/sqrtMatrix005.png)
の と との間に、どのような関係があるか考察します。また、 を を用いて表してみます。まず(3),(4)より、
![](../images2/sqrtMatrix010.png)
が成り立ちます。(5)より、 のとき、
![](../images2/sqrtMatrix012.png)
となります。(6)に代入すると、
![](../images2/sqrtMatrix013.png)
となります。(3)に代入すると、
![](../images2/sqrtMatrix014.png)
が得られます。一方(6)より、 のとき、
![](../images2/sqrtMatrix016.png)
となります。(5)に代入して、
![](../images2/sqrtMatrix017.png)
となります。(4)に代入して、
![](../images2/sqrtMatrix018.png)
が得られます。(1)(2)(7)(8)より、 において、
![](../images2/sqrtMatrix020.png)
が成り立ちます。ここで(9)より、 となります。よって、
![](../images2/sqrtMatrix022.png)
となります。したがって とおくと、 となります。一方(10)より、
![](../images2/sqrtMatrix025.png)
となり、
![](../images2/sqrtMatrix026.png)
となります。したがって、 とおくと、 となります。すなわち
![](../images2/sqrtMatrix029.png)
となります。まとめますと、 で
![](../images2/sqrtMatrix030.png)
が得られます。一方、 なので、
![](../images2/sqrtMatrix032.png)
となります。したがって、
![](../images2/sqrtMatrix033.png)
となります。次にいくつかの例を示します。
j=0, k=1/2の場合
このとき、2γn=βn,δn=αnとなります。行列Aを、
としますと、 の連分数展開が得られます。いくつかの例を示します。
例1
のとき であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix037.png)
例2
のとき であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix040.png)
例3
のとき であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix043.png)
例4
のとき であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix046.png)
例5
のとき であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix049.png)
例6
のとき であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix052.png)
j=k=1の場合
つぎに、j=k=1の場合を考えます。このとき、次の行列Aが得られます。
![](../images2/sqrtMatrix053.png)
一方、黄金比の値を としますと、この行列Aにより決まるPn、Qnを用いて、 となります。
今、Fibonacci数列を、 としますと、
![](../images2/sqrtMatrix057.png)
となることが確認できます。ここで、行列 は、先のAの条件(j = k = 1)を満たすため、黄金比を表す連分数を求めることができます。次にいくつかの例を挙げてみます。
例1
のとき、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix060.png)
例2
のとき、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix062.png)
例3
のとき、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix064.png)
例4
のとき、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix066.png)
例5
のとき、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix068.png)
例6
のとき、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix070.png)
例7
のとき、 であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix073.png)
例8
のとき、 であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix076.png)
例9
のとき、 であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix079.png)
例10
のとき、 であり、連分数は次のようになります。
![](../images2/sqrtMatrix082.png)
|